Vimos, durante a semana, que uma equação da forma ax^2 + bx + c = 0 é chamada de equação do segundo grau. Além disso, também vimos que existe uma fórmula para calcularmos as soluções desta equação.

Uma pergunta interessante é a seguinte: será que uma equação da forma ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 (onde a,b,c,d são números reais) também admite uma fórmula resolutiva, assim como a equação do segundo grau possui  a conhecida fórmula de Bhaskara? Indo mais além, será que outras equações também possuem fórmulas que nos permitem achar as soluções destas equações? Se sim, porque não a estudamos no colégio? Se não, como achamos estas soluções?

Antes de respondermos a estas perguntas, vamos ver o que significa uma equação ser do terceiro grau, do quarto grau, e assim por diante.

Definição: Uma equação é dita de grau “n” se o maior expoente que aparece em uma incógnita for n.

Exemplos:  (1) x^4 + x^2 + 1 = 0 é uma equação de grau 4, pois o maior expoente que aparece em um incógnita é 4.
(2) 10x^7 - x^6 + 3x^3 + 2x^2 = 0 é uma equação de grau 7, pois o maior expoente que aparece em um incógnita é 7.
(3) -x^{37}- 5x + 1408 = 0 é uma equação de grau 37, pois o maior expoente que aparece em um incógnita é 37.

Sabendo o que significa uma equação ser do quarto grau, podemos agora responder as perguntas feitas anteriormente utilizando um teorema, chamado de Teorema de Abel-Ruffini

Teorema (Abel-Ruffini) Não existem fórmulas resolutivas que determinem corretamente as soluções uma equação de grau 5 ou maior.

Niels Henrik Abel (1802 – 1829) foi um grande matemático norueguês que fez muitas descobertas durante sua vida. Sua contribuição matemática é tanta que vários objetos matemáticos levam seu nome (como, por exemplo, os chamados  grupos abelianos, onde abelianos refere-se a Abel) e um dos grandes prêmios matemáticos leva o seu nome: o prêmio Abel. A primeira pessoa a demonstrar o teorema anterior corretamente foi Abel.

Antes de Abel, Paolo Ruffini (1765 – 1822), um filósofo e matemático italiano, também tentou demonstrar o teorema anterior, mas sua demonstração era incompleta e, por isso, insatisfatória. Mas, por ter sido o primeiro a pensar neste teorema e tentar demonstrá-lo, o teorema também leva seu nome. Outro matemático que demonstrou o Teorema de Abel-Ruffini foi o francês Évariste Galois (1811 – 1832). Galois desenvolveu uma teoria, que hoje é conhecida como Teoria de Galois, e utilizou esta teoria para demonstrar o teorema. A Teoria de Galois é uma das grandes teorias matemáticas e que até hoje é estudada com afinco.

Mas devemos ter cuidado! O teorema não diz que uma equação de grau 5 ou maior não tem solução. Na verdade, outro teorema famoso (o Teorema Fundamental da Álgebra )diz exatamente o contrário: toda equação possui pelo menos uma solução complexa. Já o Teorema de Abel-Ruffini é diferente: ele apenas diz que não existem fórmulas resolutivas (como a fórmula resolutiva da equação do segundo grau) que nos permitam descobrir as soluções diretamente!

Se não há fórmulas para descobrirmos as soluções de equações de grau 5 ou maior, então como descobrimos? Afinal, em inúmeras situações da vida real (em engenharia, por exemplo)  precisamos achar soluções de equações de grau 5 ou mais. Assim, para achar tais soluções, foram desenvolvidos métodos (um deles desenvolvido por Sir Isaac Newton (1642 – 1727), famoso físico inglês) que nos dão soluções aproximadas, isto é, se uma solução de uma equação de grau 10, por exemplo, fosse \sqrt{2} , o método aproximado nos diria que uma solução aproximada é 1.414213562 (este número é uma aproximação de \sqrt{2}, como pode-se ver aqui).

As fórmulas que nos dizem as soluções de equações de grau 3 e grau 4 são demasiadamente complicadas e (muito) raramente utilizadas. Por isso, em geral, utiliza-se outros métodos para achar as soluções de equações de grau 3 e 4, como as relações de Girard, um assunto que estudaremos mais tarde.

Obs.: Os leitores mais atentos e com um conhecimento maior podem ter percebido que usei neste texto a palavra “equação” como sinônimo de “equação polinomial” apenas para evitar a repetição constante da palavra “polinomial”